TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

 

Teoría de probabilidad

La teoría de la probabilidad es una herramienta matemática que establece un conjunto de reglas o principios útiles para calcular la ocurrencia o no ocurrencia de fenómenos aleatorios y procesos estocásticos.

En otras palabras, la teoría de la probabilidad está compuesta por todos los conocimientos relativos al concepto de probabilidad. Se trata de un concepto, en esencia, matemático. Así mismo, la probabilidad como rama de las matemáticas constituye un instrumento para la estadística.

Así, en el caso de una moneda, sabemos que al tirarla sobre un tablero el resultado puede ser cara o cruz. Suponiendo que la moneda y el tablero son perfectos y que las condiciones de lanzamiento no cambian, la probabilidad debe ser de 50% cara y 50% cruz.

En este punto nace el concepto de probabilidad. La probabilidad es un número entre 0 y 1, habitualmente expresado en % entre 0 y 100 que nos dice en cuántas ocasiones, de media, ocurrirá un suceso cada 100 veces.

Con esto en mente, llegamos a la conclusión, de que la teoría de la probabilidad se encarga de estudiar qué número entre 0 y 1 debemos asignar a un determinado suceso. Es decir, se encarga, de estudiar las probabilidades de suceder de un evento.

Conceptos fundamental

En cualquier caso, sin desviarnos del concepto de teoría de la probabilidad, diremos que está formada por un conjunto de técnicas que nos permiten asignar un número a la posibilidad de que un evento ocurra.

La teoría de la probabilidad es una herramienta matemática que establece un conjunto de reglas o principios útiles para calcular la ocurrencia o no ocurrencia de fenómenos aleatorios y procesos estocásticos.

En otras palabras, la teoría de la probabilidad está compuesta por todos los conocimientos relativos al concepto de probabilidad. Se trata de un concepto, en esencia, matemático. Así mismo, la probabilidad como rama de las matemáticas constituye un instrumento para la estadística.

Así, en el caso de una moneda, sabemos que al tirarla sobre un tablero el resultado puede ser cara o cruz. Suponiendo que la moneda y el tablero son perfectos y que las condiciones de lanzamiento no cambian, la probabilidad debe ser de 50% cara y 50% cruz.

En este punto nace el concepto de probabilidad. La probabilidad es un número entre 0 y 1, habitualmente expresado en % entre 0 y 100 que nos dice en cuántas ocasiones, de media, ocurrirá un suceso cada 100 veces.

Con esto en mente, llegamos a la conclusión, de que la teoría de la probabilidad se encarga de estudiar qué número entre 0 y 1 debemos asignar a un determinado suceso. Es decir, se encarga, de estudiar las probabilidades de suceder de un evento.

Historia de la teoría de la probabilidad

La probabilidad como concepto existe desde hace miles de años. Hay evidencias históricas, que nos indican que la primera civilización (Sumeria) era capaz de construir dados de 4 caras trabajando con huesos. Más tarde, primero en Egipto y luego en Grecia y Roma, los juegos de azar se hicieron populares.

Sin embargo, y a pesar de todo, las primeras publicaciones que acuñaban o intuían el concepto de probabilidad se escribieron a mediados del siglo XVI. Concretamente, fue Gerolamo Cardano quien escribió en 1553 un tratado sobre el juego de dados. Aunque su obra no sería publicada hasta 110 años más tarde, en 1663.

Posteriormente, han surgido avances gracias a diversos intelectuales que han permitido con sus publicaciones aumentar y mejorar el conocimiento de la probabilidad. Ejemplo de ello son intelectuales como Laplace, Gauss o Kolmogorov.

Diferencia entre estadística y probabilidad

Como decíamos al inicio estadística y probabilidad son habitualmente confundidos. Son conceptos relacionados pero bajo ningún concepto son sinónimos. La diferencia puede parecer, en un principio, algo sin importancia. Nada más lejos de la realidad. Conocer la diferencia entre uno y otro concepto nos ayudará a entenderlos mejor y obtener un conocimiento más preciso de la materia.

 Así pues, la teoría de la probabilidad constituye un aparato matemático. Una herramienta que proviene de la ciencia matemática. La estadística, por decirlo de alguna manera, se sirve de dicha herramienta para poder llegar a conclusiones más precisas. Por tanto, probabilidad no es lo mismo que estadística. Y de hecho, es más, ni siquiera es una rama de la estadística.

Conviene destacar que probabilidad y estadística no son la misma cosa. Son dos conceptos relacionados pero diferentes. Al final de este artículo, explicaremos la diferencia entre estos dos términos.

El concepto de probabilidad

En cualquier caso, sin desviarnos del concepto de teoría de la probabilidad, diremos que está formada por un conjunto de técnicas que nos permiten asignar un número a la posibilidad de que un evento ocurra.

https://www.youtube.com/watch?v=Nda59uLvaQc&feature=emb_title

PARA REFORZAR ESTOS TEMAS REALIZAMOS UNA LÍNEA DEL TIEMPO DE LA HISTORIA DE LA PROBABILIDAD.

HABLANDO DE TODOS LOS TEMAS ANTES VISTOS COMO PROYECTO FINAL REALIZAMOS UN VIDEO EN REALIDAD AUMENTADA EXPLICANDO LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y HACIENDO UNA ENCUESTA CUALITATIVA A UNA MUESTRA DE UNA POBLACIÓN DE 32 PERSONAS, EN LA CUAL PUSIMOS LOS RESULTADOS EN SUS RESPECTIVAS GRÁFICAS.

PUEDEN VISUALIZARLO EN EL SIGUIENTE LINK:

https://www.youtube.com/watch?v=s1EnjES87DY&t=19s

INTEGRANTES:

CRUZ ROLON MARÍA GUADALUPE.

ILIZALITURRI LARIOS LUIS FERNANDO.

PATIÑO VARGAS GISELL.

SÁNCHEZ ANTONIO MARYOLI ADDNAEL.

VALENZUELA GALICIA ISIS GETZABEL.

 

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

 

Varianza y desviación estándar

Veamos la varianza y la desviación estándar de la muestra y de la población, con ejercicios, ejemplos y veamos también las fórmulas.

 La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión o variabilidad, es decir, indican la dispersión o separación de un conjunto de datos. Hay que tener en cuenta que las fórmulas de la varianza y la desviación estándar son diferentes para una muestra que para una población.

 A continuación, presentamos el resumen de fórmulas, las cuales analizaremos líneas abajo: 

 

Varianza de la población (σ²)

La varianza se define como la media aritmética de los cuadrados de las diferencias de los datos con su media aritmética. 

Desviación estándar de la población (σ)

La desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Te recomendamos calcular primero la varianza de la población y luego sacar su raíz cuadrada para obtener la desviación estándar.

Ten en cuenta que, si tienes una serie de valores de una población y necesitas calcular su varianza y su desviación estándar, deberás calcular primero la media poblacional µ con la siguiente fórmula:

Varianza de la muestra (s²)

La fórmula de la varianza de la muestra es diferente a la de varianza de la población.

Desviación estándar de la muestra (s)

Recuerda que la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Te recomendamos calcular primero la varianza de la muestra y luego sacar su raíz cuadrada para obtener la desviación estándar.

Ten en cuenta que, si tienes una serie de valores de una muestra y necesitas calcular su varianza y su desviación estándar, deberás calcular primero la media poblacional x̄ con la siguiente fórmula:

Medidas de asimetría, curtosis y sesgo Son aquellos números resúmenes, que indican la morfología de la distribución de los datos, es decir de la simetría y apuntamiento que tiene el histograma de la variable en estudio. Sólo se pueden calcular en variables medidas en escala intervalo y de razón. Son el:  sesgo (coeficiente de asimetría)  Cucurtosis  COEFICIENTE DE ASIMETRÍA  Mide el grado de asimetría de la distribución con respecto a la media. Un valor positivo de este indicador significa que la distribución se encuentra sesgada hacia la izquierda (orientación positiva). Un resultado negativo significa que la distribución se sesga a la derecha. CURTOSIS  Indica que tan apuntada o achatada se encuentra una distribución respecto a un comportamiento normal (distribución normal).  Si los datos están muy concentrado hacia la media, la distribución es leptocúrtica (curtosis mayor a 0). Si los datos están muy dispersos, la distribución es platicúrtica (curtosis menor a 0). El comportamiento normal exige que la curtosis sea igual a 0 (distribución mesocúrtica). COMO ACTIVIDAD PARA REFORZAR ESTOS TEMAS REALIZAMOS LOS SIGUIENTES EJERCICIOS QUE SE ENCUENTRAN EN LOS SIGUIENTES LINKS: https://es.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc-6th-data-statistics/cc-6-mad/e/calculating-the-mean-absolute-deviation--mad- https://es.khanacademy.org/math/statistics-probability/summarizing-quantitative-data/variance-standard-deviation-population/a/calculating-standard-deviation-step-by-step

 

MEDIA ARITMÉTICA, MEDIA PONDERADA, MEDIANA Y MODA

 

Medidas de dispersión. 

Las medidas de dispersión tratan, a través del cálculo de diferentes fórmulas,  deben arrojar un valor numérico que ofrezca información sobre el grado de variabilidad de una variable.

En otras palabras, las medidas de dispersión son números que indican si una variable se mueve mucho, poco, más o menos que otra. La razón de ser de este tipo de medidas es conocer de manera resumida una característica de la variable estudiada. En este sentido, deben acompañar a las medidas de tendencia central. Juntas, ofrecen información de un sólo vistazo que luego podremos utilizar para comparar y, si fuera preciso, tomar decisiones.

Parámetros estadísticos que indican como se alejan los datos respecto de la media aritmética. Sirven como indicador de la variabilidad de los datos. Las medidas de dispersión más utilizadas son el rango, la desviación estándar y la varianza.

Rango

El rango es un valor numérico que indica la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de una población o muestra estadística. Su fórmula es:

R = Máx_x – Mín_x

Donde:

• R → Es el rango.
• Máx → Es el valor máximo de la muestra o población.
• Mín → Es el valor mínimo de la muestra o población estadística.
• x → Es la variable sobre la que se pretende calcular esta medida.

Varianza

La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media. Formalmente se calcula como la suma de los residuos al cuadrado divididos entre el total de observaciones. Su fórmula es la siguiente:

• X → Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza
• x_i → Observación número i de la variable X. i puede tomará valores entre 1 y n.
• N → Número de observaciones.
• x̄ → Es la media de la variable X.

Desviación típica

La desviación típica es otra medida que ofrece información de la dispersión respecto a la media. Su cálculo es exactamente el mismo que la varianza, pero realizando la raíz cuadrada de su resultado. Es decir, la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

• X → Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza
• x_i → Observación número i de la variable X. i puede tomará valores entre 1 y n.
• N → Número de observaciones.
• x̄ → Es la media de la variable X.

Coeficiente de variación

Su cálculo se obtiene de dividir la desviación típica entre el valor absoluto de la media del conjunto y por lo general se expresa en porcentaje para su mejor comprensión.

• X → Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza
• σ_x → Desviación típica de la variable X.
• | x̄ | → Es la media de la variable X en valor absoluto con x̄ ≠ 0

 Desviación media

En estadística la desviación absoluta promedio o, sencillamente desviación media o promedio de un conjunto de datos es la media de las desviaciones absolutas y es un resumen de la dispersión estadística Se expresa, de acuerdo a esta fórmula:

${\displaystyle D_{m}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left|x_{i}-{\overline {x}}\right|}$

La desviación absoluta respecto a la media, ${\displaystyle D_{m}}$, la desviación absoluta respecto a la mediana, ${\displaystyle D_{M}}$, y la desviación típica, ${\displaystyle \sigma }$, de un mismo conjunto de valores cumplen la desigualdad:

${\displaystyle D_{M}\leq D_{m}\leq \sigma }$

Siempre ocurre:

${\displaystyle 0\leq D_{m}\leq {\frac {1}{2}}Rango}$

donde el Rango es igual a:

${\displaystyle Rango={\text{Valor máximo}}-{\text{Valor mínimo}}}$

El valor:

${\displaystyle \,D_{m}=0}$

ocurre cuando los datos son exactamente iguales e iguales a la media aritmética. Por otro lado:

${\displaystyle D_{m}={\frac {1}{2}}Rango}$

cuando solo hay dos valores en el conjunto de datos se le debe colocar el número 2 para que ésta dé exacta.

AQUÍ SE REALIZÓ UN ANÁLISIS DETALLADO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN. DESPUES SE ELABORO UN CUADRO COMPARATIVO DE ELLAS.